৪.৫: সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতি

Uniform Circular Motion

মনেকরো, কাটুশ একটা দড়ির মাথায় ছোট একটা বল বেঁধে মাথার ওপর ঘোরাচ্ছে। বলটা সমান দ্রুতিতে গোল হয়ে ঘুরছে। দড়িটা যতক্ষণ টানটান আছে, বলটাও ততক্ষণ বৃত্তাকার পথে ঘুরে যাচ্ছে।

এখন প্রশ্ন হচ্ছে, বলটার দ্রুতি যদি একই থাকে, তাহলে কি এর ত্বরণ শূন্য?

একটু ভেবে দেখো। আমরা আগের অধ্যায়ে শিখেছি, বেগ একটা ভেক্টর রাশি। অর্থাৎ বেগের মানের পাশাপাশি দিকও আছে। বলটা গোল হয়ে ঘোরার সময় বেগের মান না বদলালেও দিকটা প্রতি মুহূর্তে বদলাচ্ছে। সুতরাং ত্বরণ শূন্য হতে পারে না।

এই ধরনের গতিকেই বলা হয় সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতি (Uniform Circular Motion)।

সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতি
কোনো বস্তু বৃত্তাকার পথে এমনভাবে চলে যে তার দ্রুতির মান ধ্রুব থাকে, সেই গতিকে সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতি বলে। এই গতিতে বেগের দিক ক্রমাগত বদলানোর কারণে বস্তুটির ত্বরণ থাকে।

বলটার বেগ কোন দিকে?

ধরো, কাটুশ বলটাকে ঘোরাচ্ছে আর আমরা বলটার গতিপথের বিভিন্ন জায়গায় ছোট ছোট বেগ ভেক্টর আঁকলাম। দেখবে, প্রতিটি জায়গায় বেগ ভেক্টরটা বৃত্তের স্পর্শক বরাবর।

এবার হঠাৎ কাটুশ দড়িটা ছেড়ে দিলো। তাহলে বলটা কি আগের মতো গোল হয়ে ঘুরতে থাকবে?

না। দড়ির টান সরে যাওয়ার পর অন্য বল উপেক্ষা করলে বলটা যে মুহূর্তে ছেড়েছে, সেই মুহূর্তের বেগের দিক বরাবর সোজা চলে যাবে।

অর্থাৎ দড়ির টান বলটাকে বাঁকানো পথে রাখতে সাহায্য করছে। বলটার গতিপথ প্রতিনিয়ত বদলানোর জন্য যে ত্বরণ প্রয়োজন, তার দিক হচ্ছে বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে।

এই ত্বরণকে বলা হয় Centripetal Acceleration বা কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণ।

কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণের মান বের করি

মনেকরো, বলটা $r$ ব্যাসার্ধের একটা বৃত্তে $v$ ধ্রুব দ্রুতিতে ঘুরছে। বৃত্তের এক জায়গায় বেগ ভেক্টর $\vec v_1$ , একটু পরে অন্য জায়গায় $\vec v_2$ ।

দুটো বেগের মান সমান,

|\vec v_1|=|\vec v_2|=v.

কিন্তু দিক আলাদা। তাই বেগের পরিবর্তন,

\Delta\vec v=\vec v_2-\vec v_1.

আর গড় ত্বরণ,

\vec a_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}.

এবার বইয়ের চিত্র ৪-১৬-এর মতো বৃত্তের ওপর দুটো জায়গা নিই, যেগুলো ওপরের উল্লম্ব রেখার দুপাশে $\phi$ কোণে রয়েছে। দুই জায়গায় বেগের উপাংশ,

\begin{aligned} v_{1x}&=v\cos\phi, & v_{1y}&=+v\sin\phi,\\ v_{2x}&=v\cos\phi, & v_{2y}&=-v\sin\phi. \end{aligned}

তাই,

\Delta v_x=0, \qquad \Delta v_y=-2v\sin\phi.

দুই জায়গার মধ্যবর্তী বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $2r\phi$ (যখন $\phi$ রেডিয়ানে মাপা হয়)। দ্রুতি ধ্রুব $v$ হলে প্রয়োজনীয় সময়,

\Delta t=\frac{2r\phi}{v}.

সুতরাং গড় ত্বরণের y-উপাংশ,

\begin{aligned} a_{\mathrm{av},y} &=\frac{-2v\sin\phi}{2r\phi/v}\\ &=-\frac{v^2}{r}\frac{\sin\phi}{\phi}. \end{aligned}

এবার সময়ের ব্যবধান খুব ছোট করতে থাকি। তখন $\phi\to0$ , আর রেডিয়ানে ছোট কোণের জন্য,

\lim_{\phi\to0}\frac{\sin\phi}{\phi}=1.

তাই বৃত্তের সবচেয়ে ওপরের জায়গায় ত্বরণ নিচের দিকে, অর্থাৎ কেন্দ্রের দিকে, এবং মান,

\boxed{a_c=\frac{v^2}{r}} \tag{4-29}

বৃত্তের অন্য জায়গাতেও একই ফল পাওয়া যাবে। শুধু ত্বরণের দিক বদলে সবসময় কেন্দ্রের দিকে থাকবে।

এর মানে কী?
একই ব্যাসার্ধের বৃত্তে দ্রুতি দ্বিগুণ করলে কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণ চার গুণ হবে। আর দ্রুতি একই রেখে ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে ত্বরণ হবে অর্ধেক।

কেন্দ্রাভিমুখী বল কোথা থেকে আসে?

আগের অধ্যায়ের নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র মনে আছে তো?

\sum\vec F=m\vec a.

বৃত্তাকার গতিতে ত্বরণ সবসময় কেন্দ্রের দিকে। তাই নিট বলকেও কেন্দ্রের দিকেই হতে হবে। এর মান,

\boxed{F_c=m a_c=\frac{mv^2}{r}} \tag{4-30}

এই নিট কেন্দ্রমুখী বলকে বলি Centripetal Force বা কেন্দ্রাভিমুখী বল।

কিন্তু এখানে একটা ব্যাপার পরিষ্কার রাখা দরকার। কেন্দ্রাভিমুখী বল নতুন কোনো আলাদা ধরনের বল নয়। এটা আসলে কেন্দ্রের দিকে কাজ করা নিট বলের নাম।

যেমন:

কাটুশের দড়িতে বাঁধা বলের ক্ষেত্রে দড়ির টান কেন্দ্রাভিমুখী বল জোগায়।
চাঁদের ক্ষেত্রে পৃথিবীর মহাকর্ষীয় বল কেন্দ্রাভিমুখী বলের কাজ করে।
কোনো বৃত্তাকার পথে গাড়ি ঘুরলে টায়ার আর রাস্তার মধ্যকার ঘর্ষণ বল প্রয়োজনীয় কেন্দ্রাভিমুখী বলের অংশ বা পুরোটাই জোগাতে পারে।

অর্থাৎ বলটার উৎস যাই হোক, আমরা জানতে চাইছি বস্তুটাকে গোল পথে ঘোরানোর জন্য কেন্দ্রের দিকে মোট কত বল লাগছে।

একটা গুরুত্বপূর্ণ সতর্কতা
সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতিতে বেগের মান ধ্রুব হলেও ত্বরণের দিক ধ্রুব নয়। তাই $\vec v=\vec v_0+\vec a t$ -এর মতো ধ্রুব ভেক্টর ত্বরণের সূত্র পুরো বৃত্তাকার গতির ওপর একসঙ্গে প্রয়োগ করবে না।

উদাহরণ ৪-৫: পৃথিবী চাঁদকে কত বল দিয়ে টানছে?

মনেকরো, কাটুশ চাঁদের দিকে তাকিয়ে ভাবছে, চাঁদ তো পৃথিবীর চারদিকে ঘুরেই যাচ্ছে। তাকে কে বৃত্তাকার পথে ধরে রেখেছে? উত্তর হচ্ছে পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ।

ধরি, চাঁদের কক্ষপথ প্রায় বৃত্তাকার। বইয়ের দেওয়া তথ্য অনুযায়ী,

\begin{aligned} r&=238{,}000\,\mathrm{mile}\approx3.82\times10^8\,\mathrm m,\\ T&=27.3\,\mathrm{day}\approx2.36\times10^6\,\mathrm s,\\ m&=7.36\times10^{22}\,\mathrm{kg}. \end{aligned}

এখানে $T$ হচ্ছে Period বা একবার পূর্ণ চক্কর দিতে যত সময় লাগে।

একবার ঘুরলে চাঁদ যে পথ অতিক্রম করে তার দৈর্ঘ্য $2\pi r$ । তাই দ্রুতি,

\begin{aligned} v&=\frac{2\pi r}{T}\\ &=\frac{2\pi(3.82\times10^8)}{2.36\times10^6}\\ &\approx1018\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}

এখন কেন্দ্রাভিমুখী বল,

\begin{aligned} F_c&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(7.36\times10^{22})(1018)^2}{3.82\times10^8}\\ &\approx2.00\times10^{20}\,\mathrm N. \end{aligned}

সুতরাং পৃথিবী চাঁদকে প্রায় $2.00\times10^{20}\,\mathrm N$ আকর্ষণ বল দিয়ে কক্ষপথে ধরে রেখেছে। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী চাঁদও পৃথিবীকে একই মানের বিপরীতমুখী বল দিয়ে টানছে।

উদাহরণ ৪-৬: স্যাটেলাইটকে কত বেগে পাঠাতে হবে?

এবার কাটুশ একটা কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীর চারদিকে ঘোরাতে চায়। উপগ্রহের ভর $1250\,\mathrm{kg}$ । পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে উচ্চতা $210\,\mathrm{km}$ । ওই উচ্চতায় মহাকর্ষজ ত্বরণের মান $9.2\,\mathrm{m/s^2}$ । পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $6370\,\mathrm{km}$ ।

প্রথম প্রশ্ন, ওই উচ্চতায় উপগ্রহের ওজন কত?

\begin{aligned} W&=mg\\ &=(1250)(9.2)=1.15\times10^4\,\mathrm N. \end{aligned}

অর্থাৎ উপগ্রহের ওজন সেখানে প্রায় $11{,}500\,\mathrm N$ ।

দ্বিতীয় প্রশ্ন, বৃত্তাকার কক্ষপথে থাকতে কত দ্রুতি লাগবে?

বৃত্তের ব্যাসার্ধ শুধু উচ্চতা $h$ নয়; পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব,

r=R+h=(6370+210)\,\mathrm{km}=6.58\times10^6\,\mathrm m.

ওই উচ্চতায় মহাকর্ষীয় বলই কেন্দ্রাভিমুখী বল দিচ্ছে। তাই,

\frac{mv^2}{r}=mg.

দুই পাশে $m$ বাদ দিলে,

v=\sqrt{gr}.

সংখ্যা বসাই,

\begin{aligned} v&=\sqrt{(9.2)(6.58\times10^6)}\\ &\approx7780\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}

সুতরাং উপগ্রহটাকে প্রায় $7.78\,\mathrm{km/s}$ স্পর্শকীয় বেগে কক্ষপথে ঢোকাতে হবে। একবার ঘুরতে সময় লাগবে,

T=\frac{2\pi r}{v}\approx1.48\,\mathrm h.

দেখলে, উপগ্রহের ওজন কিন্তু একেবারে শূন্য নয়। পৃথিবীর মহাকর্ষীয় বলই তাকে কক্ষপথে ঘুরিয়ে রাখছে।

নিজে চিন্তা করো
একই বেগে একটা ছোট বৃত্ত আর একটা বড় বৃত্তে বল ঘোরালে কোনটাতে বেশি কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণ লাগবে? $a_c=v^2/r$ সূত্রটা দেখে উত্তর দাও।