⚛ Science in Minutes

৯.৩ কঠিন বস্তুর ঘূর্ণন জড়তা (Rotational Inertia of Solid Bodies)

একটা লাঠির প্রতিটি পরমাণু কি আলাদা আলাদা গুনব?

ধরো, এবার তোমার হাতে সত্যিকারের একটা কাঠের দণ্ড। আগের অংশের তিনটি বিন্দু-কণার মতো এতে মাত্র তিনটি ভর নেই-লক্ষ-কোটি পরমাণু ছড়িয়ে আছে। তাদের প্রত্যেকটির জন্য mr2mr^2 বের করে যোগ করবে নাকি?

তা করলে তো ঘূর্ণন জড়তা বের করতে সারা দিন লেগে যাবে! সৌভাগ্যবশত, গণিতের একটা পরিচিত কৌশল আছে: বড় বস্তুকে ছোট ছোট অংশে ভাগ করো।

প্রথমে দণ্ডকে 1010টি সমান টুকরো ভাবো। প্রত্যেকটির ভর Δm=M/10\Delta m=M/10; তাদের কেন্দ্রের অক্ষ থেকে দূরত্ব rir_i। তখন প্রায়,

I≈∑iri2Δmi.I\approx\sum_i r_i^2\Delta m_i.

টুকরো যত ছোট করবে, এই আনুমানিক মান তত নিখুঁত হবে। শেষ পর্যন্ত অত্যন্ত ছোট ভর dmdm-এর জন্য যোগফল বদলে যাবে সমাকলনে (integral):

I=∫r2 dm.\boxed{I=\int r^2\,dm}.

এটাই মূল বইয়ের সমীকরণ (৯-১৫)। অক্ষ থেকে দূরের ভর বেশি অবদান রাখে-সেই আগের ধারণাটাই এখানে আছে।

একটা দণ্ডকে ভাগ করে দেখো

LL দৈর্ঘ্য আর MM ভরের সমসত্ত্ব সরু দণ্ড। অক্ষটি দণ্ডের মাঝখান দিয়ে গেছে এবং দণ্ডের লম্ব। মূল বইয়ের চিত্র ৯-১২-এ দণ্ডটিকে 1010 এবং 2020 ভাগ করা হয়েছে।

  • 1010 ভাগ করলে আনুমানিক I=0.0825ML2I=0.0825ML^2।
  • 2020 ভাগ করলে প্রায় I=0.0831ML2I=0.0831ML^2।
  • ভাগের সংখ্যা অসীমের দিকে গেলে ফল এগোয় 112ML2\frac{1}{12}ML^2-এর দিকে।

মূল বইয়ে NNটি সমান খণ্ডের জন্য আরও নির্দিষ্টভাবে পাওয়া যায়,

IN=ML212(N2−1N2).I_N=\frac{ML^2}{12}\left(\frac{N^2-1}{N^2}\right).

এখানে N→∞N\to\infty করলে I→ML2/12I\to ML^2/12। এবার দেখি সরাসরি ইন্টিগ্রাল থেকেও একই ফল আসে কিনা।

সমসত্ত্ব দণ্ডের জন্য ইন্টিগ্রেশন

দণ্ডের মাঝখানে x=0x=0 ধরো। একেবারে বাঁয়ের প্রান্ত −L/2-L/2, ডানের প্রান্ত +L/2+L/2। প্রতি একক দৈর্ঘ্যের ভর,

λ=ML.\lambda=\frac ML.

xx অবস্থানে ছোট্ট dxdx দৈর্ঘ্যের অংশের ভর dm=λ dxdm=\lambda\,dx। অক্ষ থেকে দূরত্ব ∣x∣|x|, ফলে,

Icm=∫−L/2L/2x2 dm=ML∫−L/2L/2x2 dx=ML[x33]−L/2L/2=112ML2.\begin{aligned} I_{\rm cm} &=\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dm\\ &=\frac ML\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\frac ML\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2}\\ &=\boxed{\frac1{12}ML^2}. \end{aligned}

এই হলো দণ্ডের মধ্যবিন্দু দিয়ে, দৈর্ঘ্যের লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণন জড়তা। অন্য অক্ষ নিলে সূত্রও বদলাবে-এটা খুব গুরুত্বপূর্ণ।

অক্ষ যদি দণ্ডের একেবারে প্রান্তে হয়?

এবার দণ্ডটাকে এক প্রান্ত ধরে ঘোরাচ্ছো। আগের অক্ষ আর নতুন অক্ষ পরস্পর সমান্তরাল, দূরত্ব h=L/2h=L/2। সমান্তরাল-অক্ষ উপপাদ্য থেকে,

Iend=Icm+M(L2)2=112ML2+14ML2=13ML2.\begin{aligned} I_{\rm end} &=I_{\rm cm}+M\left(\frac L2\right)^2\\ &=\frac1{12}ML^2+\frac14ML^2\\ &=\boxed{\frac13ML^2}. \end{aligned}

একই দণ্ড, কিন্তু নতুন অক্ষের জন্য জড়তা চার গুণ। তাই লম্বা লাঠি মাঝখান ধরে ঘোরানো আর প্রান্ত ধরে ঘোরানো এক নয়।

আয়তাকার পাতের জন্য কী হবে?

ধরো, aa দৈর্ঘ্য আর bb প্রস্থের পাতলা সমসত্ত্ব ধাতুর পাত। পাতের কেন্দ্র দিয়ে তার তলের লম্ব অক্ষ বসানো হলো। পাতটাকে অসংখ্য সরু দণ্ডের মতো ভাগ করলে, প্রতিটি দণ্ডের নিজস্ব জড়তার সঙ্গে কেন্দ্র থেকে সরার জন্য অতিরিক্ত dm x2dm\,x^2 যোগ করতে হবে (সমান্তরাল-অক্ষ উপপাদ্য)।

dxdx প্রস্থের একটা strip-এর ভর,

dm=Mb dx.dm=\frac Mb\,dx.

এই strip-এর মোট অবদান,

dI=112a2dm+x2dm.dI=\frac1{12}a^2dm+x^2dm.

এবার −b/2-b/2 থেকে +b/2+b/2 পর্যন্ত যোগ করি:

I=∫−b/2b/2(a212+x2)Mb dx=112M(a2+b2).\begin{aligned} I &=\int_{-b/2}^{b/2}\left(\frac{a^2}{12}+x^2\right)\frac Mb\,dx\\ &=\boxed{\frac1{12}M(a^2+b^2)}. \end{aligned}

মজার ব্যাপার: ফলটা a2+b2a^2+b^2-এর ওপর নির্ভর করছে, অর্থাৎ পাতের কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গের ওপর। মূল বইয়ের চিত্র ৯-১৪-এ এই সমাকলনের পদ্ধতি দেখানো আছে।

একনজরে কিছু দরকারি ঘূর্ণন জড়তা

মূল বইয়ের চিত্র ৯-১৫-এ বিভিন্ন বস্তুর জন্য নির্বাচিত অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা দেওয়া আছে। এখানেই সাজিয়ে রাখি:

বস্তু ও ঘূর্ণন অক্ষঘূর্ণন জড়তা II
পাতলা বৃত্তাকার রিং, কেন্দ্রীয় অক্ষMR2MR^2
পুরু বৃত্তাকার রিং, কেন্দ্রীয় অক্ষ (R1,R2R_1,R_2)12M(R12+R22)\frac12M(R_1^2+R_2^2)
সমসত্ত্ব চাকতি/নিরেট সিলিন্ডার, কেন্দ্রীয় অক্ষ12MR2\frac12MR^2
সিলিন্ডার, কেন্দ্র দিয়ে দৈর্ঘ্যের লম্ব অক্ষ14MR2+112ML2\frac14MR^2+\frac1{12}ML^2
সরু দণ্ড, মাঝখান দিয়ে লম্ব অক্ষ112ML2\frac1{12}ML^2
সরু দণ্ড, এক প্রান্ত দিয়ে লম্ব অক্ষ13ML2\frac13ML^2
নিরেট গোলক, কেন্দ্র দিয়ে যেকোনো ব্যাস25MR2\frac25MR^2
পাতলা ফাঁপা গোলকের খোল, কেন্দ্র দিয়ে ব্যাস23MR2\frac23MR^2
পাতলা রিং, তলের মধ্যে একটি ব্যাস12MR2\frac12MR^2
আয়তাকার পাত, কেন্দ্র দিয়ে তলের লম্ব অক্ষ112M(a2+b2)\frac1{12}M(a^2+b^2)

খেয়াল রেখো: একই নামের বস্তু হলেও ঘূর্ণন অক্ষ বদলালে সূত্র বদলাতে পারে। যেমন, রিংকে তার মধ্য দিয়ে খাড়া অক্ষের চারপাশে ঘোরানো আর রিংয়ের সমতলের ভেতর একটি ব্যাসের চারপাশে ঘোরানো এক নয়।

রিং আর চাকতি: একই ভর, একই ব্যাসার্ধ-জড়তা আলাদা কেন?

ধরো, সমান MM ভর আর RR ব্যাসার্ধের একটা পাতলা রিং আর একটা সমসত্ত্ব চাকতি আছে। একই কেন্দ্রীয় অক্ষে ঘোরালে,

Iring=MR2,Idisk=12MR2.I_{\rm ring}=MR^2,\qquad I_{\rm disk}=\frac12MR^2.

কিন্তু কেন রিংয়ের জড়তা দ্বিগুণ? কারণ রিংয়ের সব ভর বাইরের ধারেই আছে। চাকতির ভরের বড় অংশ অক্ষের কাছেও থাকে। ভর যত বাইরে, ঘোরাতে প্রতিরোধ তত বেশি-সূত্রগুলোর ভেতরে এই সহজ গল্পটাই আছে।

উদাহরণ ৯.৫: পাশাপাশি জোড়া দুটি নিরেট গোলক

একই ভর MM আর ব্যাসার্ধ RR-এর দুটি নিরেট গোলক পাশাপাশি লেগে আছে। প্রথম গোলকের বাইরের পৃষ্ঠ স্পর্শ করে এমন একটি ঘূর্ণন অক্ষ নেওয়া হলো, যা দুই গোলকের কেন্দ্র-সংযোগকারী রেখার লম্ব (মূল বইয়ের চিত্র ৯-১৬)। মোট ঘূর্ণন জড়তা কত?

নিরেট গোলকের কেন্দ্র দিয়ে ব্যাসের সাপেক্ষে Icm=25MR2I_{\rm cm}=\frac25MR^2।

প্রথম গোলকের কেন্দ্র অক্ষ থেকে RR দূরে, তাই,

I1=25MR2+MR2=1.4MR2.I_1=\frac25MR^2+MR^2=1.4MR^2.

দ্বিতীয় গোলকের কেন্দ্র অক্ষ থেকে 3R3R দূরে, তাই,

I2=25MR2+M(3R)2=9.4MR2.I_2=\frac25MR^2+M(3R)^2=9.4MR^2.

দুটি গোলক একসঙ্গে ঘুরছে, তাই যোগ করি:

Itotal=I1+I2=10.8MR2.\boxed{I_{\rm total}=I_1+I_2=10.8MR^2}.

এটা দেখে বোঝা যায়, দূরের গোলকটি মোট জড়তায় কত বড় অবদান রাখছে।

মনে রেখো

ঘূর্ণন জড়তা হিসাবের তিনটি শক্তিশালী উপায়: (১) ∑mr2\sum mr^2, (২) ∫r2dm\int r^2dm, আর (৩) সমান্তরাল-অক্ষ উপপাদ্য। প্রশ্ন দেখেই আগে ঠিক করো, কোন পদ্ধতিটা সবচেয়ে সহজ হবে।