অধ্যায় ২: একমাত্রিক গতি

মনেকরো, তোমার নাম কাটুশ, তুমি একজন মহাকাশচারী। স্পেসশীপ নিয়ে ঘুরতে ঘুরে এবার মঙ্গলগ্রহে একটা নতুন ঘাঁটি বানিয়েছো। পৃথিবী থেকে সেখানে পৌঁছে প্রথমেই স্পেসশীপটা পার্ক করে বেরিয়ে পড়লে চারপাশ ঘুরে দেখতে। কিছুক্ষণ পরে বুঝতে পারলে, হাঁটতে হাঁটতে তুমি অনে-এএ-ক দূরে চলে এসেছো। এখন আবার স্পেসশীপের কাছে ফিরতে হবে। কিন্তু কোন দিকে কতদূর হাঁটবে?

এই প্রশ্নটার উত্তর দিতে হলে শুধু সে কত কিলোমিটার হেঁটেছে সেটা জানলেই হবে না। কোন দিকে হেঁটেছে, সেটাও জানতে হবে। এখান থেকেই আমাদের গতির আলোচনা শুরু।

পদার্থবিজ্ঞানের যে শাখায় বস্তুর গতি নিয়ে আলোচনা করা হয়, তাকে বলে বলবিদ্যা (Mechanics)। একটা ক্রিকেট বল ছুড়ে দিলে কোথায় পড়বে, একটা ট্রেন কীভাবে গতি বাড়াবে, কিংবা মহাকাশযান কীভাবে মঙ্গলগ্রহে পৌঁছাবে-এসবই বলবিদ্যার আলোচনার বিষয়।

বলবিদ্যায় গতি নিয়ে দুটো আলাদা প্রশ্ন করতে পারি। প্রথমটা হলো, কোনো বস্তু কীভাবে চলছে? দ্বিতীয়টা হলো, কেন চলছে? প্রথম প্রশ্নের উত্তর খুঁজে যে অংশে আমরা অবস্থান, বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর আর ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর নিয়ে আলোচনা করি, সেটার নাম গতিবিদ্যা বা Kinematics। আর গতি হওয়ার কারণ, যেমন বল, নিয়ে যে অংশে আলোচনা করি, তার নাম Dynamics।

এই অধ্যায়ে আমরা প্রথম প্রশ্নটাই নিয়ে কাজ করবো। একটা বস্তু কখন কোথায় আছে, কত জোরে এবং কোন দিকে চলছে, গতি বাড়ছে না কমছে-সেগুলো হিসাব করতে শিখবো। প্রথমে ভেক্টর সম্পর্কে কিছু প্রয়োজনীয় বিষয় দেখে নেবো, তারপর একমাত্রিক গতিতে ফিরে আসবো।

২-১: ভেক্টরের সাহায্যে গতির বর্ণনা

Kinematics with Vectors

জঙ্গলের মধ্যে হারিয়ে গেলে

এবার মনেকরো, কয়েকজন অভিযাত্রী একটা বিশাল জঙ্গলে গবেষণা করতে গিয়েছে। জঙ্গলের বাইরে তাদের একটা Base Camp আছে। সেখান থেকে তারা পূর্বদিকে $45^\circ$ কোণে উত্তরমুখী হয়ে $3.0\,\mathrm{km}$ দূরে একটা Field Camp বানিয়েছে। পরে আরও কিছুদূর ঘুরতে গিয়ে অভিযাত্রীদের একটা দল আটকা পড়লো। তারা জানে, Field Camp থেকে উত্তরদিকে $30^\circ$ কোণে পশ্চিমমুখী হয়ে $2.0\,\mathrm{km}$ দূরে আছে।

এখন খাবার আর প্রয়োজনীয় জিনিস পাঠানোর জন্য Base Camp-এ রেডিও করে তাদের অবস্থান জানাতে হবে। কিন্তু কী বলবে? ‘আমরা ৩ কিলোমিটার, তারপর ২ কিলোমিটার দূরে আছি’? সেটা শুনে হেলিকপ্টারের পাইলট কোথায় যাবে!

এখানে দুটি তথ্যই দরকার-দূরত্ব এবং দিক। প্রথম যাত্রাটাকে আমরা $\vec r_1$ দিয়ে প্রকাশ করলাম। আর Field Camp থেকে অভিযাত্রী দলের অবস্থানের ভেক্টরটির নাম দিলাম $\vec r_2$।

তাহলে Base Camp থেকে সরাসরি অভিযাত্রীদের অবস্থান নির্দেশকারী ভেক্টর হবে,

একটু খেয়াল করো, এখানে $3.0+2.0=5.0$ কিলোমিটার লিখে ফেললে কিন্তু ভুল হবে। কারণ প্রথম যাত্রা আর দ্বিতীয় যাত্রা একই দিকে হয়নি। দুটি ভেক্টর যোগবিস্তারিত জানতে দেখো:ভেক্টরের ধর্ম ও উপাংশ করলে শুধু তাদের দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড নয়, দিকও বিবেচনা করতে হয়।

বইয়ের চিত্র ২-১-এ Base Camp, Field Camp আর অভিযাত্রী দলের অবস্থান তিনটি তীরচিহ্ন দিয়ে দেখানো হয়েছে। প্রথম ভেক্টরের শেষ থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরটা আঁকলে, প্রথমটির শুরু থেকে দ্বিতীয়টির শেষ পর্যন্ত যে নতুন তীরচিহ্ন পাওয়া যায়, সেটাই $\vec r$। অর্থাৎ তুমি দুই ধাপে হাঁটলেও এই নতুন ভেক্টরটি সরাসরি তোমার শেষ অবস্থানটা নির্দেশ করবে।

ভেক্টর রাশি

যে ভৌত রাশির মানের পাশাপাশি দিকও রয়েছে এবং যা ভেক্টর যোগের নিয়ম মেনে চলে, তাকে ভেক্টর রাশি (Vector Quantity) বলা হয়।

শুধু সংখ্যাটা জানলেই কখন চলবে?

ধরো, কাটুশ বললো, আজ মঙ্গলে তাপমাত্রা $-20^\circ\mathrm{C}$। এবার তুমি তাপমাত্রা কোন দিকে যাচ্ছে সেটা জিজ্ঞেস করবে না। তাপমাত্রা বোঝাতে একটা সংখ্যা আর এককই যথেষ্ট।

একইভাবে ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা, সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড, তাপমাত্রা ও শক্তি হলো স্কেলার রাশি (Scalar Quantity)। এদের প্রকাশ করতে আলাদা করে দিক বলতে হয় না।

কিন্তু কাটুশ যদি বলে, ‘স্পেসশীপটা $100\,\mathrm{m/s}$ বেগে চলছে’, তাহলে বেগের পূর্ণ বিবরণ এখনও পাওয়া গেল না। উত্তর দিকে চলছে, নাকি দক্ষিণ দিকে? বেগের জন্য দিকটা গুরুত্বপূর্ণ।

মনে রেখো

দূরত্ব আর সরণ এক নয়; দ্রুতি আর বেগও এক নয়। প্রথম দুটি স্কেলার ও ভেক্টরের পার্থক্য বোঝার জন্য বেশ কাজে লাগবে। পরের পরিচ্ছেদে এগুলো বিস্তারিত দেখবো।

গতির হিসাব করতে আমরা কী ধরবো?

মনেকরো, একটা ট্রেন লাইনের ওপর দিয়ে যাচ্ছে। ট্রেনের চাকা ঘুরছে, বগিগুলো একটু দুলছে, আবার পুরো ট্রেনটাও সামনে এগোচ্ছে। সবকিছু একসাথে হিসাব করতে গেলে তো মাথা ঘুরে যাবে!

তাই আপাতত আমরা এমনভাবে চিন্তা করবো, যেন বস্তুর পুরো ভর একটা বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত এবং সেটার গতি হিসাব করলেই চলছে। এই আদর্শ বস্তুকে বলবো কণা (Particle)।

একটা ইলেকট্রনকে প্রায়শই কণা ধরে হিসাব করা যায়। আবার কোনো সমস্যা সমাধানে একটা আস্ত ট্রেনকেও কণা ধরে নিতে পারি, যদি ট্রেনের বিভিন্ন অংশের ঘূর্ণন বা কম্পন আমাদের হিসাবে গুরুত্বপূর্ণ না হয়। কিন্তু চাকার ঘূর্ণন বিশ্লেষণ করতে চাইলে চাকার কিনারা আর কেন্দ্র একইভাবে চলে না-তখন গোটা চাকাকে একটিমাত্র কণা ধরা চলবে না।

এই সরলীকরণ ব্যবহার করে আমরা অবস্থান, বেগ ও ত্বরণের সাধারণ নিয়মগুলো বের করবো। বস্তুটি একটু পরে থেমে যাক, উল্টো দিকে চলুক কিংবা গতি বাড়াক-একই নিয়ম কাজে লাগবে।

আর একটা ব্যাপার। বইয়ে প্রথমেই জঙ্গলের উদাহরণে দুই দিকে চলা দেখিয়েছে, যদিও অধ্যায়ের নাম একমাত্রিক গতিবিস্তারিত জানতে দেখো:একমাত্রিক গতি ও গতির গ্রাফ। কারণ একমাত্রিক গতির হিসাব করার আগেও ভেক্টর কীভাবে কাজ করে সেটা জানা দরকার। ভেক্টরের যোগ-বিয়োগ এবং উপাংশ বোঝা হয়ে গেলে আমরা সোজা রেখায় চলা বস্তু নিয়ে কাজ করবো।

নিজে ভেবে দেখো

একটা মানুষ বাড়ি থেকে ১০০ মিটার পূর্বে গেল, তারপর ১০০ মিটার পশ্চিমে ফিরে এলো। সে মোট কত দূরত্ব অতিক্রম করেছে? আর তার মোট সরণ কত? উত্তর দুটো আলাদা কেন, সেটা পরের পরিচ্ছেদের আগে নিজে ভাবার চেষ্টা করো।