৫.৪ সুষম বৃত্তীয় গতির গতিবিদ্যা (Dynamics of Uniform Circular Motion)

বেগের মান একই, তবু ত্বরণ কেন আছে?

ধরো, তুমি একটা বল সুতোয় বেঁধে মাথার ওপর ঘোরাচ্ছো। বলটার দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর (speed) যদি একই থাকে, তাহলে কি বলবে ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর নেই?

না। কারণ বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর (velocity) শুধু মান নয়, দিকও বোঝায়। বলটা বৃত্তের বিভিন্ন জায়গায় বিভিন্ন দিকে চলছে। বেগের দিক সবসময় বদলাচ্ছে বলে ত্বরণ আছে। আর সেই ত্বরণের দিক বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে। একেই বলে কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতি (centripetal acceleration)।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$, বস্তুর দ্রুতি $v$ হলে,

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র বলছে, কেন্দ্রের দিকে মোট বলের মান হবে

এখানে একটা বিষয় খুব ভালো করে বুঝে নাও: কেন্দ্রাভিমুখী বল কোনো নতুন ধরনের মৌলিক বল নয়। যে বল বা বলগুলোর লব্ধি বস্তুটাকে বৃত্তে ঘোরানোর জন্য কেন্দ্রের দিকে কাজ করছে, সেই লব্ধিকেই আমরা কেন্দ্রাভিমুখী বল বলছি। কখনও সেটা দড়ির টান, কখনও ঘর্ষণ, কখনও অভিলম্ব বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.২ টান ও অভিলম্ব বল, আবার কখনও মহাকর্ষ হতে পারে।

শঙ্কু দোলক (Conical pendulum)

একটা ছোট বল লম্বা সুতোয় বাঁধা আছে। এখন সেটাকে এমনভাবে ঘোরাও, যাতে বলটা তোমার চারপাশে অনুভূমিক বৃত্তে ঘোরে। সুতোটি তখন ঘুরতে ঘুরতে বাতাসে একটা কাল্পনিক শঙ্কুর পৃষ্ঠ তৈরি করে। এটাই শঙ্কু দোলক বা Conical pendulum।

ধরো,

• সুতোর দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড $L$;
• উল্লম্বের সঙ্গে সুতোর কোণ $\theta$;
• বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ $R=L\sin\theta$;
• বলের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $m$;
• সুতোর টান $T$।

বলটার ওপর কাজ করছে দুটি বল-নিচের দিকে $mg$ আর সুতো বরাবর $T$। টানকে দুই ভাগে ভাঙি।

উল্লম্ব দিকে বলটা ওপরে বা নিচে যাচ্ছে না, তাই

অনুভূমিক কেন্দ্রাভিমুখী দিকে,

প্রথম সমীকরণ দিয়ে দ্বিতীয়টি ভাগ করলে,

এবার বলটা একবার পুরো চক্কর দিতে কত সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড নেবে? এক চক্করের পথ $2\pi R$। পর্যায়কাল (period) $\tau$ হলে,

উপরের $v$ বসিয়ে এবং $R=L\sin\theta$ ব্যবহার করলে,

দেখো, এখানে বলটার ভর নেই! একই দৈর্ঘ্যের সুতো আর একই কোণ হলে, আদর্শ অবস্থায় ভারী বা হালকা বলের পর্যায়কাল একই।

যদি $L=1.2\,\mathrm m$ এবং $\theta=25^\circ$ হয়, তাহলে

ঘূর্ণায়মান রাইডে দেয়ালে আটকে থাকো কীভাবে?

মেলায় এমন একটা রাইড কল্পনা করো, যেখানে সবাই একটা বড় বৃত্তাকার ঘরের ভেতরের দেয়ালের সঙ্গে দাঁড়ায়। ঘরটা ঘুরতে শুরু করে। তারপর নিচের মেঝে সরে গেলেও মানুষ দেয়ালের সঙ্গে লেগে থাকে-নিচে পড়ে না!

প্রথমবার দেখলে মনে হবে, এ যেন জাদু। আসলে এখানে কাজ করছে দুটি পরিচিত বল।

ঘূর্ণায়মান দেয়াল মানুষের ওপর কেন্দ্রের দিকে অভিলম্ব বল $N$ প্রয়োগ করে। এই বলই কেন্দ্রাভিমুখী বল:

অন্যদিকে, মানুষকে নিচে পড়তে না দেওয়ার জন্য দেয়াল বরাবর স্থিতি ঘর্ষণবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.৩ ঘর্ষণ বল $f_s$ ওপরের দিকে কাজ করে। মেঝে না থাকলে উল্লম্ব ভারসাম্যের জন্য দরকার

কিন্তু সর্বোচ্চ স্থিতি ঘর্ষণ $\mu_sN$। তাই না পড়ার শর্ত

সুতরাং ন্যূনতম প্রয়োজনীয় দ্রুতি,

এখানেও ভর কেটে গেল! অর্থাৎ এই আদর্শ মডেলে একই পৃষ্ঠের ঘর্ষণ সহগবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.৩ ঘর্ষণ বল থাকলে মানুষের ভর ন্যূনতম দ্রুতি নির্ধারণ করে না।

ধরো, $R=2.0\,\mathrm m$ এবং $\mu_s=0.40$। তখন

এক চক্করে পথ $2\pi R\approx12.6\,\mathrm m$। তাই প্রতি চক্করে সময়

ঘূর্ণনের হার প্রায় $0.56$ চক্কর/সেকেন্ড বা ৩৩ rpm।

বিষয়টা উল্টোভাবে ভাবো: ঘোরার গতি যত বাড়বে, দেয়ালের অভিলম্ব বল তত বাড়বে, ফলে মানুষকে ধরে রাখার সর্বোচ্চ স্থিতি ঘর্ষণও তত বাড়বে।

বাঁকানো রাস্তা কেন এক পাশে উঁচু করা হয়? (Banked curve)

গাড়ি যখন সোজা রাস্তা থেকে বাঁক নেয়, তখন গাড়ির বেগের দিক বদলায়। তাই তার কেন্দ্রের দিকে বল লাগবেই। সমতল বাঁকে এই বলটা সাধারণত রাস্তা ও টায়ারের মধ্যকার পাশমুখী ঘর্ষণ থেকে আসে। ট্রেনের ক্ষেত্রে রেললাইনও চাকার ওপর পাশমুখী বল দিতে পারে।

কিন্তু ঘর্ষণের ওপর পুরোপুরি নির্ভর করা নিরাপদ নয়-বিশেষ করে রাস্তা ভেজা বা পিচ্ছিল হলে। তাই অনেক বাঁকে রাস্তার বাইরের পাশটা ভেতরের পাশের তুলনায় একটু উঁচু করা হয়। একে বলে banking।

এবার রাস্তা গাড়ির ওপর যে অভিলম্ব বল দেয়, সেটা একেবারে উল্লম্ব নয়। এর একটি উপাংশ কেন্দ্রের দিকে কাজ করে। ফলে ঘর্ষণ ছাড়াও নির্দিষ্ট বেগে নিরাপদে বাঁক নেওয়া সম্ভব।

ধরো, রাস্তার banking কোণ $\theta$, বাঁকের ব্যাসার্ধ $R$, আর গাড়ির দ্রুতি $v$। ঘর্ষণ উপেক্ষা করলে,

উল্লম্ব দিকে,

কেন্দ্রের দিকে,

সমীকরণ দুটি ভাগ করলেই,

খেয়াল করো:

• একই বাঁকে বেশি বেগের জন্য বেশি banking কোণ দরকার।
• একই বেগে তীক্ষ্ণ বাঁক (ছোট $R$) হলে বেশি banking দরকার।
• আদর্শ সূত্রে গাড়ির ভর নেই।

যে বেগের কথা ভেবে রাস্তা banked করা হয়েছে, গাড়ি তার চেয়ে বেশি বেগে গেলে অতিরিক্ত কেন্দ্রাভিমুখী বলের জন্য ঘর্ষণের প্রয়োজন হতে পারে।

আর একটা মজার মিল দেখো: শঙ্কু দোলকের ক্ষেত্রেও আমরা পেয়েছিলাম $v^2=Rg\tan\theta$। দুটো ঘটনাই আসলে একই ধরনের বলের উপাংশের অঙ্ক!