Science in Minutes

১-৭ মাত্রিক বিশ্লেষণ

Dimensional Analysis

প্রত্যেক পরিমাপযোগ্য বা গণনাযোগ্য ভৌত রাশির একটি dimension বা মাত্রা রয়েছে।

কোন এককে রাশিটি প্রকাশ করা হচ্ছে, তার ওপর dimension নির্ভর করে না।

উদাহরণস্বরূপ area-কে প্রকাশ করা যেতে পারে:

  • m2m^2
  • ft2ft^2
  • acre
  • barn

কিন্তু প্রতিটি ক্ষেত্রেই dimension হলো area।

যান্ত্রিক বিজ্ঞানে তিনটি মৌলিক dimension হলো:

M,  L,  T\boxed{M,\;L,\;T}

যেখানে:

  • MM = Mass
  • LL = Length
  • TT = Time

প্রত্যেক সঠিক ভৌত সমীকরণকে dimensionally consistent হতে হবে।

অর্থাৎ সমীকরণের দুই পাশের dimension একই হতে হবে।

উদাহরণ

ধরা যাক,

x=12at2x=\frac{1}{2}at^2

এখানে acceleration-এর dimension:

[a]=LT−2[a]=LT^{-2}

এবং,

[t]=T[t]=T

তাই,

[at2]=LT−2T2[at^2] = LT^{-2}T^2 =L=L

যা distance-এর dimension।

তাই সমীকরণটি dimensionally consistent।

উদাহরণ ১-৪: Centripetal Force

বৃত্তাকার পথে একটি বস্তু স্থির বেগে চলতে থাকলে তাকে একটি বল প্রয়োজন, যাকে centripetal force বলা হয়।

ধরা যাক বলটি নির্ভর করে:

  • ভর mm
  • বেগ vv
  • বৃত্তের ব্যাসার্ধ rr

এর ওপর।

তাহলে লিখতে পারি:

F∝mavbrcF\propto m^av^br^c

Force-এর dimension:

[F]=MLT−2[F]=MLT^{-2}

এখন,

[m]=M[m]=M [v]=LT−1[v]=LT^{-1} [r]=L[r]=L

তাই,

MLT−2=Ma(LT−1)bLcMLT^{-2} = M^a(LT^{-1})^bL^c

অথবা,

MLT−2=MaLb+cT−bMLT^{-2} = M^aL^{b+c}T^{-b}

দুই পাশের exponent তুলনা করলে:

Mass-এর জন্য

a=1a=1

Time-এর জন্য

b=2b=2

Length-এর জন্য

b+c=1b+c=1

তাই,

c=−1c=-1

অতএব,

F∝mv2rF\propto\frac{mv^2}{r}

Newton-এর সূত্র থেকে প্রকৃত সমীকরণ:

F=mv2r\boxed{F=\frac{mv^2}{r}}

এখানে dimensional analysis সঠিক dependence বের করতে পেরেছে।

তবে dimensional analysis কোনো dimensionless numerical constant বের করতে পারে না।

উদাহরণ ১-৫: Planck Time

Big Bang-এর পর মহাবিশ্বের বিবর্তনে একটি গুরুত্বপূর্ণ সময় হলো Planck time, tPt_P।

এটি তিনটি মৌলিক ধ্রুবকের ওপর নির্ভর করে।

১. আলোর বেগ

c=3.00×108 m/sc=3.00\times10^8\,m/s

মাত্রা:

[c]=LT−1[c]=LT^{-1}

২. Newton-এর Gravitational Constant

G=6.67×10−11m3s2 kgG=6.67\times10^{-11}\frac{m^3}{s^2\,kg}

মাত্রা:

[G]=L3T−2M−1[G]=L^3T^{-2}M^{-1}

৩. Planck Constant

h=6.63×10−34 kg m2/sh=6.63\times10^{-34}\,kg\,m^2/s

মাত্রা:

[h]=ML2T−1[h]=ML^2T^{-1}

ধরি,

tP∝ciGjhkt_P\propto c^iG^jh^k

তাহলে,

[tP]=[c]i[G]j[h]k[t_P]=[c]^i[G]^j[h]^k

অর্থাৎ,

T=(LT−1)i(L3T−2M−1)j(ML2T−1)kT= (LT^{-1})^i (L^3T^{-2}M^{-1})^j (ML^2T^{-1})^k

সূচকগুলো সমান করলে পাই:

Length-এর জন্য

0=i+3j+2k0=i+3j+2k

Time-এর জন্য

1=−i−2j−k1=-i-2j-k

Mass-এর জন্য

0=−j+k0=-j+k

সমাধান করলে:

i=−52i=-\frac{5}{2} j=12j=\frac{1}{2} k=12k=\frac{1}{2}

তাই,

tP∝c−5/2G1/2h1/2t_P\propto c^{-5/2}G^{1/2}h^{1/2}

অথবা,

tP∝Ghc5t_P\propto \sqrt{\frac{Gh}{c^5}}

মান বসালে,

tP≈1.35×10−45 st_P\approx1.35\times10^{-45}\,s

অতএব,

tP≈1.35×10−45 s\boxed{t_P\approx1.35\times10^{-45}\,s}

সাধারণভাবে সংজ্ঞায়িত Planck time-এর সঙ্গে এই মানের একটি dimensionless factor-এর পার্থক্য রয়েছে।

Dimensional analysis দিয়ে এই ধরনের dimensionless constant নির্ণয় করা যায় না।

অধ্যায়ের মূল বিষয়সমূহ

এই অধ্যায়ে আমরা শিখেছি:

  • ভৌত রাশি প্রকাশের জন্য standard unit প্রয়োজন।
  • SI হলো আন্তর্জাতিকভাবে স্বীকৃত একক পদ্ধতি।
  • SI-তে সাতটি মৌলিক একক রয়েছে।
  • বড় ও ছোট সংখ্যা প্রকাশের জন্য SI prefix ব্যবহার করা হয়।
  • সময়ের আধুনিক মানদণ্ড cesium atom-এর কম্পনের ওপর ভিত্তি করে।
  • meter আলোর বেগের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত।
  • পরিমাপের ক্ষেত্রে significant figures গুরুত্বপূর্ণ।
  • যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগে significant figure ব্যবহারের আলাদা নিয়ম রয়েছে।
  • প্রতিটি ভৌত রাশির একটি dimension রয়েছে।
  • সঠিক ভৌত সমীকরণের দুই পাশের dimension একই হতে হবে।
  • dimensional analysis ব্যবহার করে অনেক সমীকরণের functional form নির্ণয় করা যায়।